已知函数$f(x) = 3^x + 3^{-x}$，函数$g(x) = f(2x) - mf(x) + 6$.

\begin{subquestion}
    \item （5分）判断并证明函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上的单调性；
    \item （6分）若命题“$\exists x \in \textbf{R}, g(x) \leq 0$”是真命题，求实数$m$的取值范围；
    \item （6分）是否存在实数$m$，使函数$h(x) = (m - 3)^{g(x)}$在$[0, 1]$上的最大值为1？如果存在，求出实数$m$所有的值，如果不存在，请说明理由.
\end{subquestion}